Dopplerův jev ve fyzice a astronomii - díl první

Christian Andreas Doppler (29. listopadu 1803 Salzburg - 17. března 1853 Benátky) byl význačný rakouský fyzik a matematik.

Po absolvování střední školy v Linci zahájil Christian Doppler v roce 1822 studium na vídeňské polytechnice. Od roku 1825 studoval na vídeňské univerzitě. V roce 1829 se stal asistentem matematiky u profesora Adama Burga na vídeňské technice. V roce 1835 se stal profesorem matematiky na reálce v Praze a v roce 1836 konal na technice nepovinné přednášky z vyšší matematiky. V roce 1837 byl na technice pověřen konáním přednášek z geodézie. V roce 1841 byl jmenován profesorem elementární matematiky. V roce 1847 byl jmenován profesorem matematiky a mechaniky na báňské akademii v Banské Štiavnici. V říjnu roku 1848 byl jmenován profesorem geodézie na polytechnice ve Vídni. V roce 1850 se stal ředitelem fyzikálního institutu na univerzitě ve Vídni, ale už roku 1852 musel požádat o dovolenou ze zdravotních důvodů, odjel se léčit do Itálie a následujícího roku zemřel na tuberkulosu.

Doppler se věnoval mnoha oblastem. V roce 1842 publikoval Christian Doppler v Abhandlungen der königliche bömischen Gesselschaft der Wissenschaften práci Ueber das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels (O barevném světle dvojhvězd a některých dalších hvězd), kde vysvětlil princip, po něm nazvaný.

Podstatou Dopplerova jevu je změna frekvence vlnění, k níž dochází v případě, že zdroj vlnění a pozorovatel jsou vůči sobě v pohybu. Tento jev je pozorovatelný zejména u vlnění zvukového a elektromagnetického. Přesné zákonitosti však nejsou v obou případech totožné. Příčinou neúplné totožnosti je fakt, že vlnění zvukové se šíří pouze v látkovém prostředí, na něž muže být navázána vztažná soustava, kdežto v případě elektromagnetického vlnění toto prostředí existovat nemusí a volba vztažné soustavy je nezávazná.

Pokud vyšetřované vlnění je vlněním látkového prostředí, na které je možno navázat vztažnou soustavu, je třeba zkoumat odděleně dva případy.

1. Zdroj vlnění je v klidu vůči látkovému prostředí, pozorovatel je v pohybu

Nechť v souřadném systému S, klidném vůči látkovému prostředí je v počátku zdroj, kmitající na frekvenci f_o. Nechť se vlnění šíří fázovou rychlostí c. Nechť se pozorovatel nachází na ose x a pohybuje se ve směru kladné poloosy x rychlostí u, která je menší než c. Vlnoplochy vyslané zdrojem po jednotlivých periodách kmitání protínají osu x v bodech, vzdálených od sebe o vlnovou délku l_o. Tato je stejná v soustavě S i v S’ spojené s pozorovatelem. Pro pozorovanou frekvenci tedy platí:

f = (c - u)/l_o

Poněvadž ovšem l_o= c/f_o, je

f = f_o(c - u)/c.

Za uvedené situace se pozorovatel vzdaluje od zdroje vlnění. Pozorovaná frekvence je pak nižší, než frekvence zdroje.Pokud by rychlost pozorovatele překročila rychlost šíření vlnění, pak ho vlnění "nedožene" a pozorovatel ho nemůže registrovat. V případě, že se pozorovatel pohybuje směrem ke zdroji, je rychlost u záporná a pozorovatel registruje frekvenci vyšší než f_o. Pokud by jeho rychlost překročila rychlost c, vytváří pozorovatel rázovou vlnu, která je pro průchod vlnění od zdroje neprostupná. Obecně je frekvence f lineární funkcí rychlosti pozorovatele u. V případě, kdy vektor rychlosti u není rovnoběžný s osou x, a tedy s rychlostí c, je nutno promítnout u do směru rychlosti c použitím funkce kosinus úhlu, který oba směry svírají.

2. Zdroj vlnění je vůči prostředí v pohybu, pozorovatel je v klidu.

Nechť v souřadném systému S, klidném vůči látkovému prostředí, je pozorovatel v počátku systému, zdroj se nachází na kladné poloose x, pohybuje se rychlostí v (menší než rychlost šíření vlnění c)ve směru kladné poloosy x a vysílá vlnění s frekvencí f_o. V tomto případě je akustické pole představováno nesoustřednými kulovými vlnoplochami, jejichž středy leží na ose x. Uvažujeme-li vlnoplochy vzniklé vždy po jedné periodě T_o, jsou středy vlnoploch vzdáleny od sebe o hodnotu v T_o. Vlnoplochy protínají osu x v bodech, jejichž vzdálenost na polopřímce zdroj-pozorovatel je

l = l_o + vT_o.

Tudíž platí:

f = c/l = c/(l_o + vT_o) = c/(c/f_o + v/f_o)

a tedy

f = f_oc/(c + v)

I v tomto případě pozorovatel registruje frekvenci menší, než je frekvence zdroje. Frekvence zde není lineární funkcí rychlosti v. S rostoucí rychlostí v se bude f blížit asymptoticky nule. V případě, že se zdroj pohybuje k pozorovateli, má v opačné znaménko než c a s rostoucí absolutní hodnotou v roste frekvence f neomezeně pro çvç

2.1. Pokud v = -c, ztrácí výše uvedený výraz smysl.Akustické pole je představováno soustavou vlnoploch, které mají všechny společný bod dotyku a společnou tečnou rovinu. Vzniká rovinná rázová vlna. Pokud absolutní hodnota v je větší než c, vlnoplochy se pronikají a jejich obálkou je kuželová plocha, jejíž prostorový úhel klesá s rostoucí absolutní hodnotou v. Vrchol této kuželové plochy postupuje rychlostí v. V místech, kterými rázová vlna projde, je slyšet sonický třesk. Je mylný názor, že tento třesk vzniká jen v okamžiku překročení rychlosti c. Při přeletu letadla nadzvukovou rychlostí totiž vždy nejprve slyšíme třesk a pak zvuk motoru.

3. Oba výše zmíněné případy mohou nastat současně. Jednoduchým dosazením získáme (po přeznačení):

f = f_o(c - u)/(c + v).

Opět platí, že pokud rychlosti u, v nejsou rovnoběžné s c, je nutno je do směru c (a tudíž do směru spojnice zdroj-pozorovatel) pravoúhle promítnout.

4. Pokud jsou absolutní hodnoty rychlostí u, v neporovnatelně menší než c, lze výraz na pravé straně rovnice rozšířit buď výrazem c + u nebo c - v a zanedbat druhé mocniny u, v a jejich součin. Po úpravách dostaneme:

f ≈ f_o(c - u - v)/c ≈ f_oc/(c + u + v)

Z výrazů je patrné, že při rychlostech daleko menších než c není nutno rozlišovat pohyb zdroje od pohybu pozorovatele, jinak řečeno, význam v tomto případě má jen relativní pohyb pozorovatele vůči zdroji. Označíme-li rychlost tohoto relativního pohybu v, vystačíme např. s rovnicí

f = f_oc/(c + v)

Přepíšeme-li poslední rovnici zavedením vlnové délky

c/l = (c/l_o).c/(c + v)

převrátíme a násobíme c, obdržíme

l = l_o(1 + v/c)

a dalšími úpravami konečně

(l - l_o)/l_o = v/c

Poslední rovnice má zásadní význam v astronomii, neboť z posuvu vlnových délek spektrálních čar umožňuje určit radiální nerelativistické rychlosti kosmických objektů. Zde rozumíme hodnotou l_o tzv. laboratorní vlnovou délku spektrální čáry.

5. Při odvozování vztahů se vycházelo z představy o šíření zvukového vlnění. S výhradou však platí i pro šíření vlnění elektromagnetického, zejména světla.Úvaha z bodu (1) měla však v optice smysl jen potud, pokud byla uznávána hypotéza o existenci éteru (myšlená látka bez hmotnosti, v absolutním klidu, vyplňující vesmír a prostupující všechna tělesa) a představě, že elektromagnetické vlnění je vlnění éteru. Poněvadž tato hypotéza zkrachovala, je ona úvaha platná pouze v akustice. V optice je použitelný pouze vztah z bodu (2) a to jen pro rychlosti daleko menší než je rychlost c, což je v tomto případě rychlost šíření elektromagnetického vlnění ve vakuu. Jev takto vzniklý lze nazvat klasickým (t.j. nerelativistickým) Dopplerovým jevem. Přitom rychlostí v se rozumí zásadně jen relativní rychlost zdroje vůči pozorovateli.

Reference:
[1] Horáček., Létající savci (Academia, Praha 1986)
[2] www.wikipedia.org